Polynôme complexe d'ordre 3

Les racines complexes d'un polynôme de 3e degré à coefficients réels sont bien connues.

\[ P(z)=\sum_{i=0}^{i=3} a_i z^i \]

Cependant, si les coefficients $a_i, i \in C$ alors les racines annulant $P(z)$ sont inconnues. Le théorème de Galois (théorie des groupes) démontre que le problème qui consiste à trouver les racines d'un polynôme de degré supérieur à 5 est un problème sans solution.

Ce billet tente de proposer une méthode analytique pour aboutir au résultat.

$P(z), z \in C$ est une fonction continue et dérivable dans l'ensemble des nombres complexes. De plus, on démontre que si $x, y \in R$ et que $P(z) = Q(x,y)$ avec :

$Q(x,y)$ polynôme ayant les mêmes propriétés que $P(z)$,
$z=x+i y, x,y \in R$

Alors \[ \frac{\partial P}{\partial x} = -i \frac{\partial P}{\partial y} \] ce qui est équivalent à démontrer que $P(x)$ est une fonction holomorphe.

Les fonctions holomorphes ont la priopriété d'êtres définies par la frontière de leur domaine de définition. Ainsi, on peut écrire que l'intégrale de $P(z)$ sur un ouvert simplement connexe de $C$ est nulle sur un contour $\Gamma$ fermé.

\[ \int_\Gamma P(z) dz = 0 \]

L'idée à développer est la suivante : dériver le polynôme $P(z)$ $N-2$ fois afin d'aboutir à une solution analytique de $P^{(N-2)}(z)=0$, puis de remonter jusqu'aux racines de $P(z)=0$. Cependant, il reste à lier les racines d'un polynôme avec celles de sa fonction dérivée.

Références

http://en.wikipedia.org/wiki/Cubic_function
http://fr.wikipedia.org/wiki/Fonction_holomorphe
http://fr.wikipedia.org/wiki/S%C3%A9rie_enti%C3%A8re
http://en.wikipedia.org/wiki/Casus_irreducibilis
http://www.emba.uvm.edu/~ddummit/quintics/solvable.pdf
http://www.maa.org/joma/volume8/kalman/RepRoots.html
http://fr.wikipedia.org/wiki/M%C3%A9thode_de_Cardan
http://fr.wikipedia.org/wiki/Vi%C3%A8te
http://fr.wikipedia.org/wiki/Girolamo_Cardano

Edit: Merci à Stéphane Mottin pour la publication de V.I. Lebedev sur la résolution de ce problème. Je teste actuellement la solution sur des polynômes à coefficients entiers. Merci aussi pour ses pistes pour la résolution propre du problème.

"V.I. Lebedev, On formulae for Roots of Cubic Equation, Russian Journal Of Numerical Analysis and Mathematical Modelling Vol. 6, No 4 (1991)

Edit: Merci à Cédric Auger pour m'avoir également indiqué les méthodes de résolution à utiliser, autre que la méthode des radicaux. "