Petite expérience sur les fonctions itérées

Avez-vous déjà essayé d'appuyer nerveusement sur la touche sinus ou cosinus de votre calculatrice ? Avez-vous remarqué que ça donne toujours le même résultat ?

Cette opération correspond à une composition de fonction, effectuée de nombreuses fois. A chaque pression de la touche $$ \cos $$, on en rajoute une couche.

Ce qui est surprenant, c'est le résultat obtenu sur une calculatrice simple. \[ 0,999847742 \] et ce, quel que soit le nombre de départ.

Pourtant, ce résultat est entièrement faux. Si on trace la fonction avec un logiciel quelconque, on obtient ceci :

Fonction cosinus itérée. Chaque itération fait converger la fonction vers une limite finie.

où l'on observe bien (de manière graphique) la propriété de convergence vers une limite proche de 0.75.

Un calcul sur un matériel un peu plus sophistiqué donne $ \cos(\cos(\cos(\cos(\cos(1))))) = 0.763959682...$

Les questions sont donc les suivantes :

Pourquoi la série est-elle indépendante de la valeur initiale ?
Pourquoi une calculatrice donne-t-elle une réponse fausse ?
Quelle est la limite avec une fonction sin lorsque $ x \neq 0 \equiv \pi $

$SInus itéré. Lorsque $ x=0 mod \pi $, $u_n=0$. Sinon, la valeur est inconnue.$

SInus itéré. Lorsque $ x=0 mod \pi $, $u_n=0$. Sinon, la valeur est inconnue.