Les 50 ans du Chaos (incomplet)

Les systèmes dynamiques tels que le problème à trois corps étudié par Poincaré sont décrits dans l'espace des phases, espace dans lequel les dimensions correspondent aux variables dynamiques comme la position et la quantité de mouvement [N.d.T. le produit de la masse par la vitesse] permettant de décrire le système à l'aide d'équations aux dérivées ordinaires couplées. La vision de l'époque était qu'un système classique allait converger vers un état stable, décrit par une boucle fermée - ou un état quasi - périodique, qui en dimension supérieure à 1, présente une grande quantité de modes périodiques décrits par un tore à n dimensions dans l'espace des phases.

Les trajectoires d'un système à trois corps calculé par Henri Poincaré ne rentre dans aucune de ces catégories. Dans ce cas, il observa que chaque trajectoire ne se recroise jamais elle-même, mais == s'effondre == sur elle-même d'une façon très complexe, de manière à croiser indéfiniment == toute extrémité de l'espace. == "Nous ne pouvons qu'être frappés par la complexité d'une telle forme, que je ne tenterai même pas d'illustrer", en paraphrasant en anglais la référence \cite{Mandelbrot, 1982}.

Ce que Poincaré se refuser à dessiner est maintenant bien décrit par un "tangle homoclinique", une expression canonique ayant une géométrire fractale. (Une représentation de la structure "tangle" est montrée par la Figure 4 de l'article de David Nolte, Physics Today, Avril 2010, page 33.)

Les résultats de Poincaré, obtenus indépendamment de Jacques Hadamard, et les résultats expérimentaux sur le chaos obtenus par leurs contemporains étaient considérés par beaucoup comme un problème dû au bruit ou à des imprécisions de méthode et fut ainsi appelé "La Gallerie des Monstres". Il pris alors presque un siècle pour que la théorie du Chaos puisse asseoir sa renommée.

== A serendipitous discovery ==

Selon toute vraisemblance, Lorens n'était pas familier des travaux de Poincaré lorsqu'il commence à travailler en tant que météorologiste au milieu des années 1900 \cite{Lorenz1993}, p.133. A l'aide d'une licence et d'un master en Mathématiques, Lorenz servi comme météorologiste au cours de la seconde guerre mondiale avant de terminer son doctorat en météorologie au MIT. Il intégra le MIT en 1955.

A cette époque, la plupart des météorologistes prédisaient le temps avec des méthodes linéaires, qui étaient basées sur l'hypothèse que le temps du lendemain correspond à une combinaison linéaire du temps d'aujourd'hui. Au contraire, une communauté émergente de météorologistes insistant sur l'importance des phénomènes non-linéaires, pensait que la météo pouvait être mieux prédite en simulant la dynamique des flux atmosphériques sous-jacents au temps qu'il fait. Lorenz qui venait d'avoir accès à son premier ordinateur, un Royal McBee LGP-30 avec une mémoire interne de 4096 octets en double précision, décida de comparer les deux approches en comparant les méthodes linéaires à un système dynamique simplifié comportant 12 variables. (L'ordinateur de Lorenz était un million de fois plus lent qu'un ordinateur portable actuel).

Lorenz chercha des solutions non-périodiques, celles qu'il pensait comme étant le plus gros problème des procédures linéaires, et les trouva en imposant un chauffage externe qui changeait en fonction de la lattitude et de la longitude - comme le soleil le fait dans la véritable atmosphère. Suffisamment robustes, les procédures linéaires menèrent à un résultat bien éloigné des résultats obtenus avec le système d'équations dynamiques.

Après avoir obtenu ces solutions non-périodiques de son propre chef, Lorenz décida de les analyser plus en profondeur. Il reproduisit les données, mais cette fois en reportant les données du temps prédit chaque jour. Pour économiser de l'espace disque, il arrondissait les nombres à la troisième décimale, bien que les calculs effectués avaient une précision plus élevée. Ce qui suit sera mieux apprécié de par les mots de Lorenz lui-même:

"A un moment donné, j'ai décidé de recommencer certains calculs de manière à comprendre ce qui se passait avec plus de détail. J'ai arrêté l'ordinateur, entré une ligne de nombres que j'avais retranscris précédemment, et relancé le calcul. Je suis descendu prendre un café, et revenu dans mon bureau environ une heure après, pendant que l'ordinateur calculait environ deux mois de prévisions météorologiques. Les nombres obtenus n'avaient rien à voir avec les précédents. J'ai immédiatement suspecté qu'il y avait un problème informatique, ce qui n'était pas inhabituel, mais avant d'appeler le service technique, j'ai décidé de voir où est-ce que l'erreur avait eue lieu, sachant que ça pourrait aider le service informatique. A la place d'une rupture brutale, j'ai trouvé que les nouvelles valeurs ont d'abord répété les anciennes, puis peu à peu se sont décallées de plusieurs unités à la dernière décimale, puis se sont ensuite propagées aux décimales précédentes. En fait, les différences s'amplifiaient d'un facteur 2 environ tous les 4 jours. Au bout de deux mois, il n'y ait plus aucune ressemblance avec les résultats initiaux. C'était suffisant pour me faire comprendre ce qui s'était passé. Les nombres que j'avais entrés n'étaient pas exactement ceux correspondant aux résultats physiques, mais étaient entachés d'une erreur d'arrondi qui apparaissaient dans la sortie issue du premier calcul.