Random walk

Pour un blog qui se nomme "marche au hasard", on peut dire que ce post peut sembler aller à l'encontre du thème en voulant traiter la signification des relations de dispersion.

En effet, les relations de dispersion permettent d'analyser la stabilité d'un système physique décrit par un ensemble d'équations par exemple aux dérivées partielles.

Ces équations sont bien sûr connues pour décrire des comportements déterminés par les conditions initiales et par les conditions aux bords. Alors comment faire apparaître un comportement aléatoire dans de telles équations ? On ne peut pas directemente. Cependant, on peut faire apparaître les comportements "couplés", et "résonants". Qui par couplage peuvent faire apparaitre des transaitions vers la turbulence et vers des régimes chaotiques.

La relation de dispersion n'est pas forcément un artifice mathématique destiné à calculer la vitesse de groupe ou la vitesse de phase d'une onde. Mathématiquement, on peut l'utiliser pour calculer les solutions sans pour autant résoudre l'équation avec des techniques analytiques. Physiquement, on peut en déduire des conditions de couplage d'ondes, de résonance, révéler les paramètres pour atteindre un régime oscillant, de régime instable, ou bien de coupure.

Le but de ce billet est de réunir les techniques liées à l'utilisation des relations de dispersion, élément qu'il est impossible de trouver dans les livres spécialisés, qui pourtant en présentent des conclusions sorties du chapeau.

Références

• JM Rax, Physique des plasmas, Dunod
• Cours de physique des plasmas, Master Sciences de la Fusion, Université Paris VI Pierre et Marie Curie.
• Stefan Maier, Plasmonics: Fundamentals and Applications (Springer)
• S. Chandrasekhar, Hydrodynamic and hydromagnetic stability (Oxford University Press)
• Nussenzveig, Causality and Dispersion relations (Springer)
• W. Jones, Doucet and Buzzi, An introduction to the linear theories and methods of electrostatic waves in plasmas (Plenum Press)
• Drazin and Reid, Hydrodynamic stability (Cambridge University Press)
• François Charru, Instabilités hydrodynamiques (CNRS éditions)